Pi (Л) : Un nombre irrationnel !

Histoire de chiffres et de formules, une série proposée par Elodie Courtejoie

Mon premier est une lettre grecque. Mon deuxième sert à calculer la circonférence d’un cercle, son aire ou encore le volume d’une sphère. Mon troisième est un nombre aux décimales sans limite… Vous l’avez deviné, nous vous proposons de vous pencher sur le nombre π qui depuis plus de 2000 ans continue de susciter la curiosité des mathématiciens.

D’où provient cette valeur avoisinant les 3,14 ?
Pi n’est autre que la circonférence d’un cercle divisé par son diamètre et cela, quelle que soit la taille du cercle :
P (périmètre) = 2 x r x π.
Le plus souvent on dit : P = 2πr.

Quant à l’aire d’un disque, il s'agit de π x r²

On associe à Pi la valeur 3,14 pour aller vite, mais en réalité, Pi est un nombre irrationnel : les décimales sont infinies.
On connaît à ce jour environ 2700 milliards de décimales au nombre π grâce au calcul des ordinateurs !
Archimède, en 250 avant J.-C. était bien loin de pouvoir donner une telle précision ! Mais il est le premier à se rapprocher au maximum de la valeur qu’il fit figurer dans son traité De la mesure du cercle.

Avant lui, d’autres se sont essayés à trouver une valeur constante à Pi.
C’est le cas des Babyloniens qui 2000 avant J.-C. se rapprochent de Pi en utilisant une fraction :
3 + 1/8 = 3,125

Un peu plus tard, vers 1650 avant J.-C., les Egyptiens utilisent aussi les fractions et se rapprochent de Pi. Ils calculaient (16/9)² = 3,16 environ.
Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, qui provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes. On estime que c’est le plus vieux traité de mathématiques au monde.

En Chine vers 1200 avant J.-C., on pense que Pi se rapproche de 3.
Et puis en 250 avant J.-C. le grec Archimède comprend que Pi tend vers 3,14.
Dès lors on ne cessera plus de s’intéresser à ce nombre irrationnel.
On peut se demander pourquoi aujourd'hui des ordinateurs calculent les décimales de Pi... Il existe en réalité deux raisons :
- Le calcul de décimales de π est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs
- le calcul d'un grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de grands progrès dans ce domaine.

Pi, un nombre irrationnel et transcendant

En plus d’être un nombre irrationnel, Pi est aussi un nombre transcendant.
Cela signifie qu’il n'existe pas de chiffre dont π soit une racine ; la preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann.
C’est grâce à ce résultat qu’on a compris par la même occasion que le problème de la quadrature du cercle était en réalité(...)

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