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chr610
Racine carrée de 2 (√2) : l’alliée de la photocopieuse !
Histoire de chiffres et de formules, une série proposée par Elodie Courtejoie
Intéressons-nous à l’histoire de la racine carrée de 2 (√2). Utilisée déjà par les Babyloniens, la racine carrée de 2 est aujourd’hui devenue la meilleure alliée de votre photocopieuse… Explications en compagnie d’Elodie Courtejoie.
Les premières traces de la √2 sont celles retrouvées d’un élève Babylonien entre 1900 et 1600 avant J.-C. Il laissa derrière lui une tablette sur laquelle était gravé un exercice de mathématiques.
Et voici ce qu’on y trouve : un carré divisé en deux par une diagonale.
Visiblement, le maître a demandé à l’élève de calculer la longueur de la diagonale car on retrouve sur cette même tablette deux séries de chiffres gravés : le premier 42,426389. Il s'agit du résultat. Et un autre, 1,4142129 qui n’est autre que la racine carrée de 2.
L’élève a multiplié la longueur du côté d’un carré, 30, pour le multiplier par la racine carrée de 2 et obtenir la longueur de la diagonale, soit 42,426389.
Comment les Babyloniens ont-il su multiplier le côté d’un carré par 1,41 pour obtenir sa diagonale et comment ont-ils eu une connaissance aussi précise de la racine carrée de 2, chiffre infinitésimal ? Malheureusement, nul ne le sait !
La démonstration la plus ancienne que nous connaissons de la √2 remonte à l’Antiquité grecque au IVe siècle avant J.-C., grâce à Platon. Dans son dialogue intitulé Ménon, il propose une petite énigme :
Un carré étant donné, déterminer à partir de celui-ci un carré d’une aire deux fois plus grande...
Avez-vous trouvé ?
Pour déterminer un carré deux fois plus grand que le premier, il suffit de construire le second à partir de la diagonale du premier. La diagonale devient l’un des 4 côtés de votre nouveau carré.
Une fois ce grand carré dessiné, vous constatez qu’il est deux fois plus grand que le premier. Si vous n'êtes pas convaincu, calculez l’aire du premier carré, puis celle du second, vous observerez que l’un est le double de l’autre.
Même si ce n’est pas explicite, cet exercice démontre que le rapport de la diagonale au côté est égal à la racine carrée de 2.
La √2 aujourd'hui
Aujourd'hui, la racine carrée de 2 nous entoure partout. Elle est utilisée dans le format de vos feuilles de papier et dans le programme de la photocopieuse.
Prenez une feuille au format A4 soit 21 x 29,7 cm.
Vous pouvez constater que la longueur de votre feuille 29,7, c’est 21 x √2 : vous obtenez en effet 29,7.
Si nous avons introduit de la racine carrée dans(...)
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